Função Logaritma-1º D/E-3º Trimestre-2012

As funções na forma f(x) = logax  são consideradas logarítmicas, com a > 0 e a ≠ 1, sendo

 f: R*+ → R. Exemplos:

f(x) = log₂^x
f(x) = log ₅ (x – 2)
f(x) = log _{(a – 2)} ⁴
f(x) = log _0,5 ^x

O gráfico da função logarítmica é determinado de acordo com as seguintes condições:

Crescente: base maior que 1.
Decrescente: base maior que zero e menor que 1.

FUNÇÃO LOGARÍTMICA

É toda função f:      que associa a cada x o logaritmo, na base b, de x:

f(x) = log b x

Exemplos:

a) f(x) = log  3 x

b) g(x) = log1/3 x

Gráficos da função logarítmica

Observações:

a) O gráfico da função logarítmica passa sempre pelo ponto (1,0).

b) O gráfico nunca toca o eixo y e não ocupa pontos dos quadrantes II e III.

c) Quando a > 1, a função logarítmica é crescente (x1 > x2 loga x1 > loga x2).

d) Quando 0 < a <1, a função logarítmica é decrescente (x1 > x2 loga x1 < loga x2).

EQUAÇÕES LOGARÍTMICAS

Para resolver equações logarítmicas, devemos aplicar as propriedades e, em seguida, verificar se os valores obtidos para a incógnita estão de acordo com as condições de existência estabelecidas.

Exemplo:

Resolver a equação log2 x + log2 2x = 3.

Solução:

Condições de existência:

Aplicando a propriedade do logaritmo do produto, e a definição de logaritmo, temos:

log2 x + log2 2x = 3 →log2 (x . 2x) = 3 →

log2 2x2 = 3 →23 = 2x2 →8 = 2x2 → x2 = 4→ x = 2 ou x = -2

Comparando os valores obtidos com as condições de existência estabelecidas, verificamos que – 2 é um valor impróprio.

Logo:

V = {2}

Teoria dos Logaritmos

1. DEFINIÇÃO

Sejam a e b números reais positivos diferentes de zero e b 1. Chama-se logaritmo de a na base b o expoente x tal que bx = a:
logb a = x   bx = az

Na sentença logb a = x temos:

a) a é o logaritmando;

b) b é a base do logaritmo;

c) x é o logaritmo de a na base b.

Exemplos:

Observação 1: Quando a base não vier expressa, fica subentendido que esta vale 10.

Exemplos:

a) log 3 = log 10 3

b) log 20 = log10 20

Condições de existência

a) A base tem de ser um número real positivo e diferente de 1.

b) O logaritmando tem de ser um número real positivo.

2. PROPRIEDADES DOS LOGARITMOS

a) O logaritmo de um número, na base de valor igual a ele mesmo, é sempre igual a 1.

logb b = 1.

Exemplo:
log8 8 = 1.

b) O logaritmo de 1 em qualquer base é sempre igual a 0.

logb 1 = 0

Exemplo:
log9 1 = 0

c) Logaritmo de uma potência

logb ay = y. logb a

Exemplo:
Log2 34 = 4. log2 3

d) O logaritmo de um número b, na base b, elevado a um expoente x é sempre igual a x.

logb bx = x

Exemplo:

Log3 37 = 7

e) Um número b, elevado ao logaritmo de a na base b, é sempre igual a a.

blogb a = a

Exemplo:

7log7 13 = 13

f) Logaritmo do produto:

logc (m . n) = logc m + logc n, sendo m > 0, n > 0 e b 1.

Exemplo:
log2 (4 . 3) = log2 4 + log2 3

Receba conteúdo de
 CATEGORIA e aprenda por SMS:

Custo de R$ 0,31 + impostos por mensagem, até 30 mensagens por mês. Para cancelar envie COLEGIO CATEGORIA SAIR para 49810

Exercícios – Equações -III Trimestre- 1ºD/E-2012
Aula nº...... Data: ....., / .... /12

 2. Determinar os valores de x para os quais 2^x=1.
 3. Resolver a equação 27^x = 243.
 4. Determinar o valor de x para o qual (4/9)^x=81/16.
 5.  Resolver a equação 625^x = 25.
 6. Qual é o conjunto solução da equação exponencial 5 ^x+2=125 ^x?
 7. Qual é o conjunto solução de 2^x+1 + 2^{x - 1} = 20 ?
 8. Determinar o conjunto solução da equação 3^x+1 - 3^x+2  = -54.
 9. Determinar o conjunto solução da equação 3 ^x - 3^{4 - x} = 24.
10. Resolver a equação 2^{2 x+1} - 2 ^{x + 4} -  2 ^{x + 8} = 0.

Mais um vídeo explicando a equação de 2º grau.

http://youtu.be/QyMZp4mJhkg

O link abaixo é de um vídeo curtinho que faz revisão da função de 1º grau.

http://youtu.be/tLFxXptK9hY

NO link abaixo, temos um vídeo com conceitos básicos de função.

http://youtu.be/DfTXY698rJ0

Equações Exponenciais:

As equações exponenciais são aquelas que apresentam a incógnita no expoente. Observe os exemplos:

2^x = 256
3^x+1 = 9
4^x = 1024
2^x+2 = 512

As equações exponenciais possuem um método de resolução diferenciado, precisamos igualar as bases para aplicarmos a propriedade de igualdade entre os expoentes. Observe a resolução da seguinte equação:

5^x = 625 (fatorando 625 temos: 5⁴)
5^x = 5⁴
x = 4
A solução da equação exponencial será x = 4.

Observação: fatorar significa decompor o número em fatores primos, isto é, escrever o número através de uma multiplicação de fatores iguais utilizando as regras de potenciação.


Acompanhe outro exemplo:

Vamos determinar a solução da equação 2^{x + 8} = 512.

Devemos escrever 512 na forma fatorada, 512 = 2⁹.
Então:
2^{x + 8} = 2⁹
x + 8 = 9
x = 9 – 8
x = 1
A solução da equação exponencial 2^{x + 8} = 512 é x = 1.


Exemplo 3

Resolva a equação .
Transforme a raiz quinta em potência:
2^x = 128^1/5

Pela fatoração do número 128 temos 27, então:
2^x = (2⁷)^1/5
x = 7 . 1/5
x = 7/5
Portanto, a solução da equação exponencial é x = 7/5.


Exemplo 4

Encontre o valor de x que satisfaça a equação exponencial 2^{x² - 7x + 12} = 1.

Para igualar as bases, vamos lembrar a regra da potenciação que diz o seguinte: “todo número diferente de zero elevado a zero é igual a 1.”
Com base na regra, podemos dizer que 1 = 2⁰, então:

2^{x² - 7x + 12} = 2⁰
x² - 7x + 12 = 0, temos uma equação completa do 2º grau que deverá ser resolvida pelo teorema de Bháskara. Aplicando o método resolutivo descobrimos os seguintes valores:
x’ = 3 e x” = 4.
Portanto, os valores que satisfazem a equação exponencial 2^{x² - 7x + 12} = 1 é x = 3 e x = 4.